La función de transferencia de un servomotor de CC representa la relación entre la entrada del motor (normalmente voltaje o corriente) y su salida (normalmente velocidad o posición) en el dominio de la frecuencia. Este modelo matemático es fundamental para diseñar sistemas de control que rigen el comportamiento del motor en diversas aplicaciones, como la robótica, las máquinas CNC y los sistemas automotrices. La precisión de la función de transferencia se ve influenciada por varios parámetros del motor, entre ellos la resistencia (R), la inductancia (L) y la fricción (b), que afectan la dinámica de la respuesta del motor a las entradas.

Comprensión de la función de transferencia de un servomotor de CC

Antes de profundizar en la influencia de parámetros específicos, es importante comprender la estructura básica de la función de transferencia de un servomotor de CC. Un motor de CC típico consta de:

• Resistencia de la armadura (R): la resistencia de los devanados del motor.
• Inductancia de la armadura (L): la inductancia del devanado de la armadura.
• Fuerza contraelectromotriz (FEM): El voltaje generado por la rotación del motor, que se opone al voltaje de entrada.
• Inercia del motor (J): La resistencia del motor a las variaciones en la velocidad de rotación.
• Amortiguación (b): Las fuerzas de fricción que se oponen a la rotación del motor.
• Constante de par (K_T): La constante de proporcionalidad entre la corriente de entrada y el par de salida del motor.
• Constante de FEM (K_E): La constante de proporcionalidad entre la velocidad del motor y la FEM generada.

La función de transferencia de un motor de CC se puede escribir como:

donde:

• ω(s)\omega(s)ω(s) es la velocidad angular del motor (salida),
• V(s)V(s)V(s) es el voltaje de entrada,
• sss es la variable de frecuencia compleja en el dominio de Laplace.

Efecto de la resistencia (R) en la función de transferencia

La resistencia en el devanado de la armadura desempeña un papel importante en la determinación de la constante de tiempo eléctrica del motor, que afecta tanto al comportamiento transitorio como al comportamiento en estado estable del motor. El valor de la resistencia afecta directamente la amortiguación del sistema del motor y está integrado en el denominador de la función de transferencia. En concreto, la resistencia influye en los siguientes aspectos del comportamiento del motor:

• Respuesta de velocidad: una mayor resistencia conduce a mayores pérdidas de energía en los devanados, lo que da como resultado una aceleración más lenta y un motor con menor capacidad de respuesta. El aumento de la resistencia puede provocar que el sistema quede subamortiguado, con tiempos de estabilización más lentos.
• Consumo de energía: una mayor resistencia da como resultado una mayor disipación de energía en forma de calor, lo que reduce la eficiencia del motor y aumenta la carga térmica del sistema.
• Estabilidad: la resistencia es un parámetro crucial para controlar la relación de amortiguación del motor. Una mayor resistencia generalmente aumenta la amortiguación, lo que mejora la estabilidad pero posiblemente reduce el rendimiento en aplicaciones de alta velocidad.

En términos de la función de transferencia, la resistencia afecta las ubicaciones de los polos en el sistema. A medida que aumenta la resistencia, el factor de amortiguamiento se vuelve más significativo, desplazando los polos hacia la mitad izquierda del plano complejo, lo que genera un sistema más estable pero más lento.

Efecto de la inductancia (L) en la función de transferencia

La inductancia en el devanado de la armadura regula la constante de tiempo eléctrica del motor, que está determinada por la relación entre la inductancia (L) y la resistencia (R). La inductancia tiene varios efectos importantes en la función de transferencia y la dinámica del motor:

• Respuesta transitoria: la inductancia alta ralentiza la respuesta del sistema a los cambios de entrada, ya que la corriente tarda más en cambiar debido a la oposición creada por la inductancia. Esto significa que el motor tendrá una respuesta transitoria más lenta, lo que podría ser problemático en aplicaciones de alto rendimiento que requieren una aceleración rápida.
• Sobreimpulso y tiempo de asentamiento: en sistemas con alta inductancia, la respuesta del motor puede presentar un tiempo de subida más largo y un sobreimpulso mayor antes de alcanzar el estado estable. Esto se debe a que la inductancia resiste los cambios en la corriente, lo que retrasa la aceleración y la desaceleración del motor.
• Error de estado estable: la inductancia puede contribuir a un error de estado estable si el sistema está mal ajustado, en particular en sistemas donde el control de la velocidad o la posición es crítico.

Desde la perspectiva de un sistema de control, la inductancia modifica los polos del sistema, haciendo que se acerquen al eje imaginario. Esto puede generar una respuesta más lenta y, en algunos casos, hacer que el sistema oscile si no está adecuadamente amortiguado. En la función de transferencia, la inductancia aparece en forma de un término LLL en el numerador y el denominador. Este término afecta significativamente la constante de tiempo del sistema y puede alterar la capacidad del motor para seguir cambios rápidos en la señal de entrada.

La función de transferencia y la fricción (b)

La fricción es un parámetro crítico que a menudo se pasa por alto en los motores de CC. Representa la resistencia mecánica que se opone al movimiento del rotor del motor e incluye la fricción de los cojinetes, la resistencia del aire y cualquier otra forma de pérdida mecánica. La fricción afecta principalmente a los términos de amortiguación e inercia del motor, y su influencia se ve de las siguientes maneras:

• Amortiguación del sistema: la fricción se suma a la amortiguación general del sistema del motor, lo que aumenta la velocidad a la que el motor alcanza su posición o velocidad final. En muchos casos, aumentar la fricción puede mejorar la estabilidad del sistema al reducir las oscilaciones o el sobreimpulso.
• Pérdida de par: la fricción introduce un par constante que se opone a la rotación del motor, lo que reduce la eficiencia general del sistema. Esta pérdida de par puede afectar la capacidad del motor para mantener altas velocidades o un posicionamiento preciso a lo largo del tiempo.
• Control de posición: en aplicaciones controladas por posición, la fricción puede introducir un error estático o una compensación, ya que el motor debe superar las fuerzas de fricción para alcanzar y mantener una posición establecida.

En la función de transferencia, la fricción se modela típicamente como parte del término de amortiguación. Afecta la respuesta transitoria del sistema, así como el componente real de los polos. El aumento de la fricción puede provocar tiempos de asentamiento más rápidos, pero también puede reducir la eficiencia del motor y aumentar el desgaste.

Variaciones en los parámetros del motor y su efecto en la dinámica del sistema

El comportamiento dinámico de un servomotor de CC, incluido el tiempo de reacción, la estabilidad y la eficiencia, está determinado por la interacción de la resistencia, la inductancia y la fricción. Pequeños ajustes en cualquiera de estos factores pueden tener un gran impacto en el rendimiento del motor.

• Mayor resistencia: conduce a una reducción de la velocidad, mayor pérdida de potencia y una posible disminución de la eficiencia del sistema. También aumenta la amortiguación, lo que puede afectar el rendimiento transitorio.
• Mayor inductancia: provoca tiempos de respuesta más lentos y puede dar lugar a un comportamiento más oscilatorio si no se ajusta correctamente. Aumenta la constante de tiempo eléctrica, lo que ralentiza la capacidad del motor para reaccionar a los cambios en la entrada.
• Mayor fricción: si bien puede aumentar la amortiguación y mejorar la estabilidad, la fricción excesiva provoca pérdida de potencia y reducción de la eficiencia, lo que afecta negativamente el rendimiento general del motor.

Estas variaciones deben considerarse cuidadosamente durante el proceso de diseño y ajuste para garantizar que el motor brinde el rendimiento deseado y, al mismo tiempo, mantenga la eficiencia energética y la estabilidad del sistema.

Métodos para la estimación de parámetros y la identificación del sistema

Para modelar y controlar con precisión un servomotor de CC, es esencial estimar los parámetros del motor (R, L, b) con precisión. Se pueden utilizar varios métodos para la estimación de parámetros y la identificación del sistema:

• Medición empírica: medición directa de los parámetros del motor utilizando equipos de prueba como una fuente de alimentación, un osciloscopio o un multímetro. Por ejemplo, la resistencia se puede medir con un ohmímetro estándar y la inductancia se puede medir utilizando un medidor LCR.
• Prueba del motor y análisis de respuesta: la aplicación de entradas escalonadas o entradas sinusoidales al motor y la medición de su respuesta de salida pueden ayudar a identificar parámetros. Al analizar la velocidad, la posición y la respuesta de la corriente del motor, es posible estimar los valores de R, L y b mediante técnicas de ajuste de curvas.
• Técnicas de identificación del sistema: se pueden emplear técnicas como la estimación de mínimos cuadrados, el filtrado de Kalman y otros métodos de optimización para estimar los parámetros del motor en función de los datos experimentales. Estas técnicas son especialmente útiles en sistemas complicados en los que puede resultar difícil evaluar los parámetros directamente.

La función de transferencia de un servomotor de CC proporciona un modelo matemático crucial para comprender y controlar el comportamiento del motor. Los parámetros del motor (resistencia, inductancia y fricción) influyen significativamente en la dinámica del sistema y el fabricante del servomotor de CC debe tenerlos en cuenta cuidadosamente en el proceso de diseño y control.